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Pruebas de acceso a FP · Parte común (Matemáticas)

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Parte Común — Matemáticas

Pruebas de Acceso a FP

Repaso de matemáticas para las pruebas de acceso. Fuente: Wikipedia (CC BY-SA 4.0).

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Definición, aplicaciones e historia de las matemáticas

  • Definición: Ciencia formal de patrones, estructuras y relaciones en sistemas abstractos.
  • Objetos de estudio: Cantidad, forma, espacio y número.
  • Uso actual: Ciencias naturales, aplicadas, humanidades, medicina, ciencias sociales, música y literatura.
  • Matemáticas aplicadas: Aplicación del conocimiento a otros ámbitos y creación de nuevas disciplinas.
  • Matemáticas puras: Estudio teórico sin considerar aplicaciones inmediatas.
  • Origen lógico: Matemática helénica (Elementos de Euclides) introdujo la demostración y axiomatización.
  • Era Moderna: Viète (variables), Descartes (coordenadas), Newton y Leibniz (cálculo infinitesimal).
  • Teoría de grupos: Desarrollada por Abel y Galois para simetrías y ecuaciones algebraicas.
  • Probabilidad moderna: Fundamentos completados por Kolmogorov en 1933.
  • Rigor del cálculo: Logrado por Cauchy y Weierstrass en el siglo XIX.
  • Teoría de conjuntos: Desarrollada por Georg Cantor a finales del siglo XIX.
  • Abstracción siglo XX: Noether (álgebra moderna), Hausdorff (topología general), Banach (análisis funcional).
  • Teoría de categorías: Introducida por Eilenberg y Mac Lane como marco común de abstracción.

Etimología, definiciones y epistemología de las matemáticas

  • Etimología: mathēmatiká significa «cosas que se aprenden»
  • Distinción clásica: Arte matemático (requiere instrucción) vs. Arte de las musas (apreciación directa)
  • Consolidación técnica: Ocurrió en la época de Aristóteles (siglo IV a. C.)
  • Uso lingüístico: Predomina el plural matemáticas, aunque se debate su unicidad conceptual
  • Base axiomática: Visión moderna que busca la uniformidad del campo
  • Objeto de estudio: Relaciones cuantitativas, estructuras, geometría y magnitudes variables
  • Método: Búsqueda de patrones, conjeturas y deducciones rigurosas para establecer axiomas
  • Matemática actual: Predomina el análisis lógico de construcciones abstractas sobre lo puramente cuantitativo
  • Definición de Peirce: Ciencia que señala las conclusiones necesarias
  • Carácter científico: Se debate por ser tautológica, infalible y a priori (a diferencia de las ciencias naturales)
  • Función como lenguaje: Herramienta formal para estudiar fenómenos sociales, biológicos y geológicos
  • Aplicaciones clave: Ecuaciones diferenciales, cálculo de probabilidades y teoría de conjuntos

Historia, naturaleza, estética y rigor de las matemáticas

  • Origen: El cálculo es anterior a la escritura y nació de la contabilidad y el comercio.
  • Simbiosis científica: Las matemáticas resuelven problemas de otras ciencias (ej. mecánica cuántica y teoría de cuerdas).
  • Eficacia: Las matemáticas puras suelen tener aplicaciones prácticas (irrazonable eficacia).
  • Especialización: La estadística, la informática y la investigación de operaciones son disciplinas que se independizaron de las matemáticas aplicadas.
  • Estética: Valores clave son la elegancia, la belleza interna y la simplicidad en las demostraciones.
  • Notación: La notación moderna nació en el siglo XVIII (Euler) para condensar información mediante una sintaxis estricta.
  • Rigor: Es la precisión necesaria para evitar errores basados en intuiciones fallibles.
  • Evolución del rigor: Pasó de la precisión griega a métodos menos rigurosos con Newton, recuperando el análisis cuidadoso en el siglo XIX.
  • Axioma: En el ámbito formal, es una cadena de símbolos cuyo significado es relativo al sistema axiomático.
  • Demostraciones actuales: Se apoyan frecuentemente en la asistencia por ordenador.

Naturaleza, clasificación y premios de las matemáticas

  • Definición de ciencia: campo de conocimiento
  • Naturaleza: teorías matemáticas son hipotético-deductivas
  • Conexión científica: uso de intuición, experimentación y consecuencias lógicas
  • Debate filosófico: ¿Matemática creada o descubierta?
  • Medalla Fields: instaurada en 1936, se otorga cada 4 años
  • Premio Wolf: creado en 1978, para logros en vida
  • Premio Abel: introducido en 2003, por investigación innovadora
  • Problemas de Hilbert: 23 problemas (1900), 9 resueltos
  • Problemas del milenio: 7 problemas (2000), recompensa de 1 millón de dólares
  • Único problema en ambas listas: hipótesis de Riemann
  • Áreas básicas: Cantidad (Aritmética), Estructura (Álgebra), Espacio (Geometría), Cambio (Cálculo), Variabilidad (Probabilidad/Estadística)
  • Matemática aplicada: métodos para resolver problemas en ciencias, ingeniería y finanzas, con enfoque hacia afuera

Estadística y ciencias de la decisión

  • Definición: estudio de la variabilidad y procesos aleatorios mediante leyes de probabilidad
  • Aplicaciones: fundamental en tecnología (informática, ingeniería) y ciencias fácticas (economía, genética, sociología, psicología, medicina, contabilidad)
  • Metodología de investigación: requiere recolección, organización, presentación y análisis de datos numéricos
  • Objetivo científico: obtener conocimientos por experimentación y observación para realizar inferencias bajo un marco teórico
  • Propósito universal: facilitar la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre
  • Estadística descriptiva: nivel básico de instrucción con conceptos y técnicas simples y claras

Vista previa de las fichas (6 de 25)

  1. 01

    Etimología de la palabra matemática (del griego μαθηματικά):

    lo que se comprende

  2. 02

    ¿Qué tipo de ciencia es la matemática según el texto?

    Ciencia formal

  3. 03

    ¿Quién introdujo las variables en las matemáticas a principios de la era moderna?

    François Viète

  4. 04

    ¿Qué concepto desarrollaron Abel y Galois para describir las relaciones entre las simetrías de un objeto?

    El concepto de grupo

  5. 05

    ¿Quién publicó en 1933 'Los fundamentos de la Teoría de la Probabilidad', completando sus fundamentos modernos?

    Andrei Kolmogorov

  6. 06

    Etimología: ¿qué significa el término griego máthēma (μάθημα)?

    Campo de estudio o instrucción.

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